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设x属于(0,1),证明(1+x)(In(1+x))^2<x^2

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2 | 2012-11-21 15:39:04 | 显示全部楼层 |阅读模式

令f(x)=(1+x)(In(1+x))^2 -x^2则f'(x)=(ln(1+x))2 +2ln(1+x)-2x =(ln(1+x))2 +2ln(1+1/x)>0所以，当x∈(0,1)时，函数单调增加。从而有f(x)<f(1)=0即(1+x)(In(1+x))^2<x^2...

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千问 | 2012-11-21 15:39:04 | 显示全部楼层

令f(x)=(1+x)(In(1+x))^2 -x^2则f'(x)=(ln(1+x))2 +2ln(1+x)-2x设g(x)=f'(x)则g'(x)=2(ln(1+x)-x)/(x+1)设h(x)=ln(1+x)-x，则h'(x)=-x/(x+1)＜0，（x＞0）所以h(x)单调递减，h(x)＜h(0)=0，（x＞0）所以g'(...

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