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设A为一个N阶方阵，从r(En-A)+r(En+A)=n证明A的平方=En

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查看11 | 回复1 | 2012-11-24 06:01:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明: 由已知 r(A+E)+r(A-E)=n所以 (n-r(A+E))+(n-r(A-E)) = n所以 (A+E)x=0 与 (A-E)x=0 的基础解系共含n个向量所以A的特征值只能是1或-1所以A的属于可能的特征值1和-1的线性无关的特征向量有n个故A可相似对角化为 diag(±1,±1,...,±1)所以存在可逆矩阵P使得 A=P^-1diag(±1,±1,...,±1)P所以 A^2=P^-1diag(±1,±1,...,±1)^2P=E...
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