求证：存在无穷多个互不相似的三角形，其边长a,b,c为正整数且a^2,b^2,c^2成等差数列

显示全部楼层 · 2011-11-12 02:50:37

将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷当an^2，bn^2，cn^2成等差数列，则bn^2-an^2=cn^2-bn^2分解得：（bn+an）（bn-an）=（cn+bn）（cn-bn）选取关于n的一个多项式，4n（n^2-1）做两种途径的分解4n（n^2-1）=（2n-2）（2n^2+2n）=（2n^2-2n）（2n+2）4n（n^2-1）对比目标式，构造 {an=n^2-2n-1bn=n^2+1cn=n^2+2n-1(n≥4)，等差成立考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．下证互不相似．任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例 (m^2-2m-1)/(n^2-2n-1)=(...

千问 · 2011-11-12 02:50:37

作如下构造：an1=(2k+3)^2,an2=(2k+3)(2k+5),an3=(2k+5)2 ，其中k∈N ，它们依次为数列an中的第2k2+6k+5 项，第2k2+8k+8 项，第2k2+10k+13 项，显然它们成等比数列，且，，所以它们能组成三角形．由的任意性，这样的三角形有无穷多个．下面用反证法证明其中任意两个三角形和不相...