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用Jensen不等式证明(abc)^a+b+c/3小于等于a^ab^bc^c（a，b，c大于零，）

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1 | 2011-11-17 20:29:58 | 显示全部楼层 |阅读模式

构造函数f(x)=xlnx，f'(x)=lnx+1，f''(x)=1/x>0所以f(x)下凸，由下凸函数的性质(即Jensen不等式)得f[(a+b+c)/3]≤[f(a)+f(b)+f(c)]/3即 [(a+b+c)/3]?ln[(a+b+c)/3]≤(alna+blnb+clnc)/3而(abc)^(1/3)≤(a+b+c)/3，所以[(a+b+c)/3]?ln[(abc)^(1/3)]≤(alna+blnb+clnc)/3所以 ln{(abc)^[(a+b+c)/3)]}≤ln[(a^a)(b^b)(c^c)]从而 (abc)^[(a+b+c)/3)]≤(a^a)(b^b)(c^c)...

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