二元函数的二重极限与二次极限

显示全部楼层 · 2012-4-7 17:24:43

错误，累次极限（你说的二次极限）与二重极限之间只有一个结论，就是它们如果都存在，则必相等，其它基本上什么都互推不出。本题反例：z=xsin(1/xy)，考虑(0,0)处的二重极限与累次极限。首先二重极限显然是存在的，(x,y)--->(0,0)时，该函数是无穷小与有界函数的乘积，结果为0.但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在，先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的。纠正楼上一个问题：累次极限并不是二重极限的特殊路径。以趋于原点为例：二重极限是沿着任何方式直接趋于(0,0)这一个点（极限过程中要遵守函数定义域）；累次极限是所有点先趋于y轴，然后再沿y轴趋于原点，或所有点先...

千问 · 2012-4-7 17:24:43

命题正确。二重极限存在是指动点沿着任何路径趋向于定点的时候极限都存在，并且相等。而两个累次极限（就是你说的二次极限）只是众多路径当中两个特殊的路径，所以有一个不存在，二重极限一定不存在。即使是两个累次极限存在也保证不了二重极限存在。...