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求∫∫e(x/(x+y))dxdy,{(x,y)|x+y<=2,x+y>=1,x>=0,y>=0}

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1 | 2012-4-15 18:30:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

本积分等于一个大三角形区域，减去一个小三角形区域。具体为：∫∫e(x/(x+y))dxdy=∫∫e(x/(x+y))dxdy【x+y<=2，x=0,y=0】－∫∫e(x/(x+y))dxdy【x+y<=1，x=0,y=0]】
到这里要使用雅可比变换，如果不使用雅可比变换，被积函数原函数不能用初等函数表示，无法积分。令u=x+y ，v=x/(x+y) ，即x=uv ，y=u-uv ， |J|=u(这是雅可比行列式) 前者积分区域：0≦u≦2 ，0≦v≦2 ，积分后有 2（e2-1），后者积分区域：0≦u≦1，0≦v≦1，积分后有1/2（e-1），最后结果为：2（e2-1）- 1/2（e-1）=2e2...

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