1^2+2^2+……+n^2

显示全部楼层 · 2009-8-5 16:37:39

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 ====================================================1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 ...... (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/27011506.html?si=1

千问 · 2009-8-5 16:37:39

(1^2+2^2+...+n^2)=1/6*(n+1)(2n+1)n啦证明：（1+1）^3-1^3=3*1^2+3*1+1（2+1）^3-2^3=3*2^2+3*2+1（3+1）^3-3^3=3*3^2+3*3+1（4+1）^3-4^3=3*4^2+3*4+1…………………………………………………………………………（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1各项相加：（n+1）^3-1=(1^2+2^2+...+n^2)+3(n+1)n/2+n而（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1所以(1^2+2^2+...+n^2)=1/6*(n+1)(2n+1)n

千问 · 2009-8-5 16:37:39

以下证明的具体格式:猜想:n(n+1)(2n+1)/6 下面用数学归纳法证明:n=1时,1^2=1=1*(1+1)(2*1+1)/6 n=1时猜想成立假设n=k时猜想成立,那么,n=k+1时1^2+2^2+……+(k+1)^2 =(1^2+2^2+……+k^2)+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6n=k+1时猜想也成立由上述可得,对于任何自然数,猜想均成立(ps:证明这个用数学归纳法最佳,简单易行)

千问 · 2009-8-5 16:37:39

n(n+1)(2n+1)/61^2+2^2+……+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)

千问 · 2009-8-5 16:37:39

n(n+1)(2n+1)/6 是公式,记住好了