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(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B)，证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC)。

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1 | 2012-5-3 21:49:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

证明: 分两步(1) ABX=0 与 BX=0 同解显然, BX=0 的解都是 ABX=0 的解所以BX=0的基础解系可由ABX=0的基础解系线性表示.由已知 r(B)=r(AB)所以两个基础解系所含向量个数相同故两个基础解系等价[若两个向量组的秩相同,且其中一个可由另一个线性表示,则两个向量组等价]所以ABX=0的解也是BX=0的解即两个齐次线性方程组同解.(2) ABCX=0 与 BCX=0 同解显然有: BCX=0 的解都是 ABCX=0 的解反之, 设X1是ABCX=0的解则 ABCX1=0.即 AB(CX1)=0. CX1是ABX=0的解由(1)知CX1也是BX=0的解即有 ...

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