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点P是△ABC内部任意一点,求证:当∠APB=∠APC=∠BPC=120°时,PA+PB+PC的最小值

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1 | 2012-5-5 15:59:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

设P是△ABC内一点，连PA，PB，PC。以AB为边向外作正三角形ABA‘，则A’为一确定点。以PB为边作正三角形BPP'，由于P点是变动的，所以P'也是变动的。但是，因为BP=BP'，BA=BA'，∠PBA=∠P'BA'=60°-∠ABP'，所以ΔABP≌ΔA'BP'，故PA=P'A'。又因为PB=BP'=PP'，所以有PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC。因为A'是定点，P是可选择的动点，且P'随P而变。现在我们要讨论的PA+PB+PC即是A'，C之间的折线A'P'PC的长度何时取得最小值的问题了。显然，当这四点在同一直线上时，长度为最小。此时，因为∠PBP’=∠BP’P=60°，所以∠BPC=∠BP'...

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