关于凹凸函数连续性的一个疑问。

显示全部楼层 · 2011-12-29 15:38:26

显然不成立。主要问题出在端点。f(x)=1 x=0
=0 x∈(0,1]显然对任意x1,x2∈[0,1]都有 f[(x1 + x2)/2] ≤ [ f(x1) + f(x2) ]/2因为只有三种情况：当x1=x2=0时，f[(x1 + x2)/2]=[ f(x1) + f(x2) ]/2=1当x1=0,x2≠0时，0=f[(x1 + x2)/2] ≤ [ f(x1) + f(x2) ]/2=1/2当x1,x2都不等于0时 0=f[(x1 + x2)/2] ≤ [ f(x1) + f(x2) ]/2=0...

千问 · 2011-12-29 15:38:26

个人认为是正确的，但暂时还没想到证明。我想到了就补充吧。好吧，我错了，我查阅了相关资料，这个定义并不能推出函数是连续的。至于反例确实很不好找。...

千问 · 2011-12-29 15:38:26

这个关系式和连续性完全没有关系比如分段函数：F（X）=0 0≤X≤3
=4
3＜X就满足F[（1+4）/2]=F(2.5)=0＜【F(1)+F(4)】/2=2但很明显函数F（X）在X=3处不连续。...

千问 · 2011-12-29 15:38:26

可以不连续，我们可以这样构造函数：f（x）在有理数的时候为0，无理数的时候为1；这样显然成立；...

千问 · 2011-12-29 15:38:26

不一定啊，在闭区间上，都有的，突然断了...