已知正方形ABCD的边长为2a,P是对角线AC上的一个动点,则PB+PC+PD的最小值为

显示全部楼层 · 2013-1-24 13:41:42

如图设此正方形的中心点为O，P点显然在O点右下方(因为如果在左上方随着P的移动PB+PC+PD都是增加)。设OP=x，则有PC=OC-x=√2a-x，∵OD=OB，∴PD=PB=√(OD2+x2)=√(2a2+x2)∴有PB+PC+PD=f(x)=√2a-x+2√(2a2+x2)，这个函数为先下降后上升的函数，最小值在导数为0的点由f'(x)=-1+2x/(2a2+x2)=0，以及x>0(在O点右下方)，解得x=√(2/3)a，...

千问 · 2013-1-24 13:41:42

因为是正方形，所以pb=pd；令pc长度为x，则pb=pd= 根号(（（根号2）a）平方 + （（根号2）a - x）平方)；然后求解方程最小值就好了。。。。...

千问 · 2013-1-24 13:41:42

这个应该是4a吧，因为这个最小值应该在端点达到，不是正方形的中心就是顶点。比较一下就知道了。令x=PC，y=2√(4a^2+x^2-2√2ax)+x...