由上式得an+1 < an – (an )^2,又因为该数列是正项数列,所以对于任意正整数n,右式大于0.另n=1,解右式大于0的不等式得0<a1 <1,所以a1 – (a1 )^2<1/4,上面已经证明当n=1和2时, an<1/n,下面证明若an<1/n(n为不小于2的正整数)成立,则an+1<1/(n+1)成立.当0<an<1/2时, an – (an )^2最值在an 最大时取到,所以若an<1/n(n为不小于2的正整数),则an+1< an – (an )^2<1/n-(1/n)^2=(n-1)/n^2,而由式子n^2-1<n^2两边同除以n^2(n+1)得(n-1)/n^2<1/(n+1),故an+1<1/(n+1).由此可得当n为任意正整...
|
