已知正数列｛an｝的前n项和为sn，且an,sn,1/an成等差数列，求an的通项公式，并用数学归纳法证明。

显示全部楼层 · 2011-12-30 15:46:04

当n=1时，2S1=a1+1/a1，得a1=1当n=2时，2S2=2(1+a2)=a2+1/a2，得a2=√2-1当n=3时，2S3=2(√2+a3)=a3+1/a3，得a3=√3-√2猜想an=√n-√(n-1)(n∈N*)证明：当n=1时显然成立；假设n=k时成立，那么有ak=√k-√(k-1)，2Sk=ak+1/ak=2√k那么当n=k+1时，有2S(k+1)=2(Sk+a(k+1))=a(k+1)+1/a(k+1)化简有2√k+a(k+1)=1/a(k+1)，这是关于a(k+1)的一元二次方程。求得a(k+1)=√(k+1)-√k故n=k+1也成立。综合上述，an=√n-√(n-1)(n∈N*)...

千问 · 2011-12-30 15:46:04

通过计算a1=√1-√0a2=√2-√1a3=√3-√2可以推出an=√n-√(n-1)数学归纳法证明(1)n=1时，成立（2）假设n=k(k>=1)，有ak=√k-√(k-1)则n=k+1时，2S(k+1)=a(k+1)+1/a(k+1)Sk=√k, S(k+1)=Sk+a(k+1)所以2Sk+2a(k+1)...

千问 · 2011-12-30 15:46:04

2S(n) = a(n) + 1/a(n)
①2S(n-1) = a(n-1) + 1/a(n-1)
②相减： 2a(n) = a(n) + 1/a(n)- a(n-1) - 1/a(n-1)
a(n) - 1/a(n) = - a(n-1) - 1/a(n-1)∵a(n-1)...

千问 · 2011-12-30 15:46:04

解：an+1/an=2sn，an=sn-s（n-1），带入之后，整理得到，sn^2-s(n-1)^2=1，通过递推，得到sn^2=n，即sn=根号n归纳法证明：当n=1时，s1=1，易知成立；假设当n=k时，成立sk=根号k，那么当n=k+1时，s(k+1)^2-s(k)^2=1,推出s(k+1)=根号(k+1)，故当n=k+1时也成立。综上所述...

千问 · 2011-12-30 15:46:04

以前很喜欢这类题目，现在看到这类题目就烦。...