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求不定积分 ∫ (1→0) dx / (e^x + e^-x)

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2 | 2012-6-15 11:26:52 | 显示全部楼层 |阅读模式

首先，你要知道的是以下定积分：∫ 1 / (1+x^2) dx = arctan x+ C，其中C为任意的常数。换元 e^x = t，e^x dx = dt∫ dx / (e^x + e^-x) = ∫ e^xdx / (e^2x + 1) = ∫ dt / (1+t^2) = arctan t + C = arctan (e^x) + C所以，∫ (1→0) dx / (e^x + e^-x) = arctan (e^0) - arctan (e^1) = arctan 1 - arctan e = π/4 - arctan e.注：arctan 1 = π/4 是因为，tan π/4 = tan 45度 = 1....

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