abc为正数，且a+b+c＝1，求证（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）≥64

显示全部楼层 · 2013-3-15 08:51:09

证明本题要用到均值不等式（正数的算术平均值>=它的几何平均值）：（a+b+c+d）/4>=(abcd)^(1/4)（1/a+1）（1/b+1）（1/c+1）=((a+1)/a) ((b+1)/b) ((c+1)/c)=(a+1)(b+1)(c+1)/(abc)=(a+ a+b+c)(b+ a+b+c)(c+a+b+c)/(abc)=(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)= 64((a+a+b+c)/4)((b+a+b+c)/4)((c+a+b+c)/4)>=64 (aabc)^(1/4) (babc)^(1/4)(cabc)^(1/4)=64(abc*abc...

千问 · 2013-3-15 08:51:09

左边=(a+b+c+abc+ab+bc+ac+1)/abc=1+(2/abc+1/a+1/b+1/c)下面证明：1.abc=54 2.1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b>=9...

千问 · 2013-3-15 08:51:09

a+b+c=1≥3(abc)^1/3 abc≤1/27 1/abc≥27 (1/a+1)(1/b+1)(1/c+1) =1/a+1/b+1/c+1/ab+1/bc+1/ac+1+1/abc≥3(1/abc)^1/3+3(1/abc)^2/3+1/abc+1=64 所以(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)≥64得证...