证明不存在整数x1,x2,x3....x14,使得x1四方+x2四方+....x14四方=1599成立

显示全部楼层 · 2012-1-29 23:44:50

奇数的4次方为16k+1形式偶数的4次方为16k的形式而1599为16k+15的形式x1~x14共14个数，如果其中有n个为奇数（n<=14)，则其和为16k+n的形式，不可能为16k+15的形式。因此不存在这样的x1~x14....

千问 · 2012-1-29 23:44:50

这可是道经典题了，大致的思路是右边1599除以16，余数是15再看左边一个四次方数除以16的余数只能是0 到 15 的四次方除以 16的余数之一而0 到 15 的四次方除以 16 的余数奇数的四次方除以 16 余数是1偶数的四次方除以 16 余数是0回到题目，等式左边只有14项，不可能凑出余数是15的数得证...

千问 · 2012-1-29 23:44:50

若成立设xi^4≡ai(mod16)因为1599≡15(mod16)所以a1+a2+....+a14=15而x^4≡0,1(mod16)所以至少有一项ak≡t(mod16),t≥2矛盾所以不存在整数x1,x2,x3....x14,使得原式成立...