证明√x+√y+√z=√a(a>0)与三个坐标面围成的立体的体积为一定值

显示全部楼层 · 2012-6-24 19:03:00

为方便计算，先进行归一化处理：V=a^3∫∫∫dxdxdz，区域为：√x+√y+√z=1与三个坐标面围成的立体作代换：√x=r(cosθ)^2，√y=r(sinθ)^2，z=z 于是：
x=r^2*(cosθ)^4，y=r^2*(sinθ)^4
x'r=2r*(cosθ)^4，x'θ=r^2*4(cosθ)^3*(-sinθ)
y'r=2r*(sinθ)^4，y'θ=r^2*4(sinθ)^3*(cosθ)所以：变换后的雅可比行列式J=r^3(sin2θ)^3积分区域为： 0《θ《π/2, 0《r《1，0《z《(1-r^2)V=a^3∫∫∫dxdxdz=a...

千问 · 2012-6-24 19:03:00

貌似是，x,0到ay,0到(√a-√x)^2z,0到(√a-√x-√y)^2但目测一下，这玩意要是用累次积分会算到死。。。。应该是转换成极坐标做——太久不摸高数了，具体公式忘了。。。。...