设函数f(x)连续，且∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2，已知f(1)=1，则∫2(上标)1(下标)f(x)dx=？

显示全部楼层 · 2012-1-30 16:13:15

第一步：先令（2x-t）=u，则相应地也应变化原函数的积分区间，则函数转变为∫2x(上标)x(下标)(2x-u)f(u)du；第二步：将上式化为2x∫2x(上标)x(下标)f(u)du-∫2x(上标)x(下标)uf(u)，将其求导：2∫2x(上标)x(下标)f(u)du+2x[f(2x)-f(x)]-2xf(2x)+xf(x)=2∫2x(上标)x(下标)f(u)du-xf(x)=x/(1+x^4)；第三步：取x=1时，则2∫2(上标)1(下标)f(u)du-f(1)=1/2,然后将其移项后计算得：∫2(上标)1(下标)f(x)dx=3/4!!
以上的x不是乘积符号，是被解释变量x。...

千问 · 2012-1-30 16:13:15

先对∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2两边求导，再用分部积分，算出f(x)的积分符号不好打，楼主先自己算算...

千问 · 2012-1-30 16:13:15

∫x(上标)0(下标)tf(2x-t)dt=(arctanx^2)/2两边对x求导...