n为正奇数，证明：8^n﹢6^n能被14整除

显示全部楼层 · 2013-3-27 23:44:41

设n=2k+1，则8^(2k+1)+6^(2k+1)=8·(64)^k+6·(36)^k k=0时，显然成立.k>0时，8·(64)^k+6·(36)^k=8(56+8)^k+6·(28+8)^k
=8(56M +8^k)+6(28N+8^k)，其中M，N为按二项式定理展开后提取56、28后所得结果
=8·56M+6·28N+14·8^k.显然被14整除.也可以按楼上的求模运算证明....

千问 · 2013-3-27 23:44:41

楼上证明已很好，我就不多说了。其实这题是下面结论的一个特殊情况：若 n 为正奇数，则 x^n+y^n 能被 x+y 整除。这个结论用数学归纳法很容易证明。类似的，还有下面结论：若 n 为正整数，则 x^n-y^n 能被 x-y 整除。...

千问 · 2013-3-27 23:44:41

因为8^n+6^n≡0(mod2)8^n+6^n=(7+1)^n+(7-1)^n≡1^n+(-1)^n=0(mod7)且(2,7)=1所以8^n+6^n≡0(mod14)即能整除...

千问 · 2013-3-27 23:44:41

一楼已经证明的很好了
但是你能不能不要提取56 28直接提取14 多好....