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X〕表示不超过X的最大整数。设﹛X﹜=X-〔X〕，则﹛X﹜+﹛1∕X﹜=1．(1)写出一实数X满足上述等式

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1 | 2012-2-9 10:36:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

解：解法1：（1）设 x=m+α，1/x=n+β(m，n为整数，0≤α，β＜1），若{x}+{ 1/x}=α+β=1所以 x+1/x=m+α++n+β=m+n+1是整数．令 x+1/x=k(为整数)，即x2-kx+1=0，解得 x=1/2(k±k^2-4).当|k|=2时，|x|=1易验证它不满足所设等式．当|k|≥3时， x=1/2(k±k^2-4)是满足等式的全体实数．（2）由于k^2-4不是完全平方数（事实上，若k^2-4=h2则k2-h2=4但当|k|≥3时，两个平方数之差不小于5）．所以x是无理数，即满足题设等式的x，都不是有理数．解法2：（1）取 x=1/2(3+5)或 x=1/2(3-5)（2）用反证法证明之．...

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