要造一个表面积等于定数k,横截面为半圆形的无盖半圆柱形容器，求其容积v最大时，半圆半径r和柱体的高h

显示全部楼层 · 2014-3-26 13:39:32

问题为在条件Ψ(r,h)=∏rh+∏r2下，求函数V=1/2∏r2h的最大值构造拉格朗日函数F(r,h,λ)=1/2∏r2h+λ(∏rh+∏r2-k).分别求偏导，并另之为零，得到方程组Fr=∏rh+λ∏h+2∏λr=0,Fh=1/2∏r2+λ∏r=0,Fλ=∏rh+∏r2-k=0.∵r＞0，h＞0，∴解方程组可得r=√(k/3∏),h=2√(k/3∏)。∴当r=√(k/3∏),h=2√(k/3∏)时，可使它的容积最大。...

千问 · 2014-3-26 13:39:32

V＝h×πr2/2＝﹙π/2﹚×hr2 k＝πrh+πr2/2＝﹙π/2﹚×﹙rh+rh+r2﹚,即rh+rh+r2＝常数， ∴rh＝rh＝r2时，rh×rh×r2＝﹙r2h﹚2有最大值，从而V有最大值，即r＝h时，容积v最大。...