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当a为哪些整数时,方程的(a-1)x²-(a²-3)x+a²+a=0根都是整数

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查看11 | 回复1 | 2012-7-10 18:58:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
a=1时，原方程变为2x+2=0，x=-1，符合条件。当a≠1时，设x1、x2是(a-1)x2-(a2-3)x+a2+a=0的两个根，则x1·x2=a(a+1)/(a-1)因x1、x2都是整数，x1·x2必然也是整数，但a-1和a互素，必然有a+1能被a-1整除，或者a-1=±1。若a-1=±1，则a=2或a=0a=2时，原方程变为x2-x+6=0，即(x-3)(x+2)=0，符合“根都是整数”的条件a=0时，原方程变为-x2+3x=0，也符合“根都是整数”的条件若a-1≠±1且a≠1时，则a+1能被a-1整除，令a+1=k(a-1)，则(a-1)(k-1)=2=(±...
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