求证:过一个椭圆的焦点做任意直线中与长轴垂直的直线被所截椭圆的弦最短。

显示全部楼层 · 2012-2-27 17:37:09

证：设焦点（c,0）椭圆方程 (x/a)^2+(y/b)^2=1
过焦点直线方程y/(x--c)^2=k=1/n直线方程代入椭圆方程(ny+c)^2/a^2+(y/b)^2=1
(n^2+a^2/b^2)y^2+2ncy+c^2-a^2=0y1+y2=--2nc/(n^2+a^2/b^2)
y1*y2=(c^2-a^2)/(n^2+a^2/b^2)设交点A(x1,y1),,B(x2,y2)
x1=ny1+c
x2=ny2+c
x1--x2=n(y1-y2)弦AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(1+n^2)(y1-y2)^2=(1+n^2)*[(y1+...