a+b+c=（1/a）+（1/b）+（1/c）=1,求证abc中至少有一个为1

显示全部楼层 · 2012-2-26 22:44:13

因为a+b+c=（1/a）+（1/b）+（1/c）=1,所以 1-（1/a+1/b+1/c）=0, a+b+c-1=0所以 abc[1-(1/a+1/b+1/c)]+(a+b+c-1)=0所以 abc-bc-ac-ab+a+b+c+1=0所以 (abc-ac-bc+c)-(ab-a-b+1)=0所以 c(ab-a-b-1)-(ab-a-b+1)=0所以 (c-1)(ab-a-b+1)=0所以 (c-1)[a(b-1)-(b-1)]=0所以 (c-1)(b-1)(a-1)=0所以c-1=0 或b-1=0或 a-1=0即 c=1 或b=1 或a=1即 abc中至少有一个=1...

千问 · 2012-2-26 22:44:13

这题好做，倒着来abc中至少有一个为1那么（a-1）（b-1）（c-1）=0必然即证abc-（ab+bc+ac）+（a+b+c）-1=0证abc-（ab+bc+ac）=0因为（1/a）+（1/b）+（1/c）=1通分得（ab+ac+bc）/abc=1所以abc-（ab+bc+ac）=0成立...