证明x^e<e^x 当x大于1时

显示全部楼层 · 2012-3-1 14:00:36

【1】∵当x＞1时，不等式：x^e＜e^x等价于不等式：elnx＜x.
（即前面的不等式两边取对数即可）∴只要证明当x＞1时，恒有：
elnx＜x即可。【2】构造函数f(x)=x-elnx.
(x＞1)求导，可得f'(x)=1-(e/x)=(x-e)/x显然，该函数在x=e时取得最小值，即f(x)min=f(e)=0.∴当x＞1时，恒有f(x)≥f(e)等号仅当x=e时取得。即恒有x-elnx≥0∴恒有elnx≤x.
(x＞1)等号仅当x=e时取得。综上可知，x^e≤e^x.
（x＞1)...

千问 · 2012-3-1 14:00:36

x>1,x^e>1,e^x>1ln(x^e)=elnx,ln(e^x)=x令y=x-elnxy'=1-e/x，不是单调函数呀，你是不是搞错了，是x>e?...