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求数列 ((ln n)^n)/n! 的敛散性，n为正整数

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查看11 | 回复1 | 2013-5-9 03:16:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
设a[n] = (ln(n))^n/n!, 则a[n+1]/a[n] = (ln(n+1))^(n+1)/(ln(n))^n·n!/(n+1)!= ln(n+1)/(n+1)·(ln(n+1)/ln(n))^n= ln(n+1)/(n+1)·(1+ln(1+1/n))^n≤ ln(n+1)/(n+1)·(1+1/n)^n(由不等式ln(1+x) ≤ x)≤ ln(n+1)/(n+1)·e于是由lim{n→∞} ln(n+1)/(n+1) = 0, 得lim{n→∞} a[n+1]/a[n] = 0.存在N, 使n > N时a[n+1]/a[n] < 1/2.可得a[n] < a[N]/2^(n-N), 0 ≤ lim{n...
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