一道代数题，求解

显示全部楼层 · 2009-8-13 20:58:02

a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)＝－3a(1/b＋1/c)＋b(1/c＋1/a)＋c(1/a＋1/b)＋3＝0(b＋c)/a＋(a＋c)/b＋(a＋b)/c＋3＝0(a＋b＋c)/a＋(a＋b＋c)/b＋(a＋b＋c)/c＝0(a＋b＋c)(1/a＋1/b＋1/c)＝0∴a＋b＋c＝0或1/a＋1/b＋1/c＝0若1/a＋1/b＋1/c＝0，则有：ab＋ac＋bc＝0∴1＝a^2＋b^2＋c^2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)^2∴a＋b＋c＝1或a＋b＋c＝－1故a＋b＋c的值可能为0、1、－1

千问 · 2009-8-13 20:58:02

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3可化为(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0(a+b+c)(ab+bc+ac)/(abc)=0即(a+b+c)(ab+bc+ac)=01.当ab+bc+ac=0，则2ab+2bc+2ac=0a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1(a+b+c)2=1a+b+c=±12.当a+b+c=0，也成立综上所述：a+b+c=±1或0

千问 · 2009-8-13 20:58:02

等于1，知道(a+b+c)=a方+b方+c方+2ab+2ac+2bc就行了，我用手机打的，不容易，就采纳我的吧

千问 · 2009-8-13 20:58:02

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3a[(b+c)/bc]+b[(a+c)/ac]+c[(a+b)/ab]=-3a^2[(b+c)/abc]+b^2[(a+c)/abc]+c^2[(a+b)/abc]=-3a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)=-3abca^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b=-3abcb(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)=-3abcb(1-b^2)+a(1-a^2)+c(1-c^2)=-3abca+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc =(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)((a+b)^2-c(a+b)+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) =(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)(a+b+c) =(1/2)[(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2](a+b+c) a+b+c=0(a+b)^2+(b+c)^2+(a+c)^2=22(a^2+b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)=22(ab+ac+bc)=0(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=1+0=1a+b+c=±1

千问 · 2009-8-13 20:58:02

设a+b+c=ka^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca=k^2-2(ab+bc+ca)=1ab+bc+ca=(k^2-1)/2a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=(a+c)/b+(a+b)/c+(b+c)/a=(k-b)/b+(k-c)/c+(k-a)/a=k(1/b+1/c+1/a)-3=k(ab+ac+bc)/abc-3=k(k^2-1)/2abc-3 =-3k(k^2-1)/abc=0k(k^2-1)=k(k+1)(k-1)=0k=0, k=-1, k=1所以a+b+c=-1,0,或1