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用拉格朗日中值定理证明，arctanx=arcsin[x/√(1+x^2)

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2 | 2013-5-28 16:17:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

拉格朗日中值定理的我暂时还没有想到不过我有一种证明方法arctanx=arcsin[x/√(1+x^2)两边同时取余弦因为公式 cos(arcsinx)=√1-x^2
cos(arctanx)= 1/根号(1+x^2) 那么arctanx=arcsin[x/√(1+x^2)就可以换成左边cos(arctanx)=根号下(1/1+x^2)=根号下(1+x^2-x^2/1+x^2)=根号下[1-(x^2/1+x^2)]=cos{arcsin[x/√(1+x^2)}所以命题得证...

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千问 | 2013-5-28 16:17:40 | 显示全部楼层

单调性证明：设t＝x/√(1+x^2).函数f(x)＝arctanx-arcsintf'(x)＝1/1+x^2-1/√1-t^2·(t)'f'(x)＝1/1+x^2-1/√1-t^2·（1+x^2）√1+x^2f'(x)＝1-1/√1-x^2/1+x^2·√1+x^2＝1-1/√1+x^2/1+x^2＝1-1＝0...

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