设a，b，c为实数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca.

显示全部楼层 · 2012-3-21 21:53:34

a2+b2+c2-ab-bc-ca乘以2=2[a2+b2+c2-ab-bc-ca]=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2因为(a-b)^2≥0(a-c)^2≥0(b-c)^2≥0所以(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2≥0即 a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca....

千问 · 2012-3-21 21:53:34

a2+b2+c2-ab-bc-ca=?﹙2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc﹚=?[(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]≥0∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca....

千问 · 2012-3-21 21:53:34

根据柯西不等式：(a2+b2+c2)(b2+c2+a2)≥(ab+bc+ca)2,得到(a2+b2+c2)≥|(ab+bc+ca)| ≥ab+bc+ca...

千问 · 2012-3-21 21:53:34

a^2+b^2-2ab+a^2+c^2-2ac+b^2+c^2-2bc
=2(a^2+b^2+c^2-(ab+ac+bc))=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca...