若n为正整数，求证n∧5-5n³+4n能被120整除

显示全部楼层 · 2012-8-13 08:20:08

证明：n^5-5n3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)因为n为正整数，当n小于或等于2时，该算式的值为0，能被120整除。当n大于2时，该算式就是5个连续的自然数相乘，由常识可知，5个连续的自然数中至少有1个1个倍数、1个2的倍数、一个3的倍数、一个4的倍数、一个5的倍数，这样他们的成绩至少是120的倍数。因此该等式是能被120整除的。...

千问 · 2012-8-13 08:20:08

由于n^5-5n^3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-1)(n^2-4)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)=n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=P(n+2,5)又n为正整数，故n,(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)为五个连续整数！（注：五个连续整数的乘积能被5！整除，可用数学归纳法...

千问 · 2012-8-13 08:20:08

n∧5-5n3+4n=n(n^4-5n^2+4)=n(n^2-1)(n^2-4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)当n=1时上式为0当n=2时上式也为0对于任意的正整数n（n＞2）时，则(n-2)、(n-1)、n、(n+1)、(n+2)为5个连续正整数他们的积能被120整除...

千问 · 2012-8-13 08:20:08

裂项放缩...

千问 · 2012-8-13 08:20:08

原式=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)因为这是五个连续的正整数，所以其中必有一个是3的倍数，一个是5的倍数至少有两个连续偶数，两个连续偶数中必有一个为4的倍数，所以该数是120的倍数...