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求直角坐标系第一象限上90度扇环内环一支点，使扇环静止平衡。希望得到该过程和公式

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1 | 2012-8-26 18:43:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

设扇环外环半径为R、内环半径为r，则90°扇环的的面积为: (1/4)π(R^2-r^2)。可以把扇环看成质量均匀分布的薄片，那么能使扇环静止平衡的支点——质心即为扇环的形心；显然90°扇环的形心在其45°平分线上，设形心处的半径为b，则扇环对y轴(或x轴)的质量矩为: bcos45°(1/4)π(R^2-r^2)=∫∫(D)xdxdy①；该式右端为二重积分，积分区域为扇环；采用极坐标:x=ρcosθ，y=ρsinθ，dxdy=ρdρdθ，所以①式右端变为: ∫(r→R)ρ^2dρ∫(0→π/2)cosθdθ=(1/3)(R^3-r^3)，代入①式并整理得: b=4(√2)(R^2+Rr+r^2)/[3π(R+r)]②，②式即为扇环形心处的半径。...

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