法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：sériedeFourier，或译为傅里叶级数)一种特殊的三角级数。
目录
傅里叶级数
傅里叶级数的公式
傅里叶级数的收敛性
三角函数族的正交性
奇函数和偶函数
广义傅里叶级数
编辑本段傅里叶级数
Fourierseries一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明傅里叶级数
多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。============================================================================================================
编辑本段傅里叶级数的公式
给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：mathx(t)=\\sum_{k=-\\infty}^{\\infty}a_k\\cdote^{jk(\\frac{2\\pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1）其中，matha_k/math可以按下式计算：傅里叶级数
matha_k=\\frac{1}{T}\\int_{T}x(t)\\cdote^{-jk(\\frac{2\\pi}{T})t}/math（2）注意到mathf_k(t)=e^{jk(\\frac{2\\pi}{T})t}/math是周期为T的函数，故k取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=\\pm1/math时具有基波频率math\\omega_0=\\frac{2\\pi}{T}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。
编辑本段傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；傅里叶级数
在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
编辑本段三角函数族的正交性
所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：math\\int_{0}^{2\\pi}\\sin(nx)\\cos(mx)\\,dx=0;/math傅里叶级数
math\\int_{0}^{2\\pi}\\sin(mx)\\sin(mx)\\,dx=0;(m\\nen)/mathmath\\int_{0}^{2\\pi}\\cos(mx)\\cos(mx)\\,dx=0;(m\\nen)/mathmath\\int_{0}^{2\\pi}\\sin(nx)\\sin(nx)\\,dx=\\pi;/mathmath\\int_{0}^{2\\pi}\\cos(nx)\\cos(nx)\\,dx=\\pi;/math
编辑本段奇函数和偶函数
奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数：mathf_o(x)=\\sum_{-\\infty}^{\\infty}b_k\\sin(kx);/math傅里叶级数
mathf_e(x)=\\frac{a_0}{2}\\sum_{-\\infty}^{\\infty}a_k\\cos(kx);/math只要注意到欧拉公式:mathe^{j\\theta}=\\sin\\thetaj\\cos\\theta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
编辑本段广义傅里叶级数
任何正交函数系math\\{\\phi(x)\\}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：math\\int_{a}^{b}f^2(x)\\,dx=\\sum_{k=1}^{\\infty}c^{2}_{k}/math(4)，那么级数math\\sum_{k=1}^{\\infty}c_k\\phi_k(x)/math(5)必然收敛于f(x)，其中:mathc_n=\\int_{a}^{b}f(x)\\phi_n(x)\\,dx/math(6)。傅里叶级数
事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：math\\int_{a}^{b}f^2(x)\\,dx\\ge\\sum_{k=1}^{\\infty}c^{2}_{k}/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math\\{e_i\\}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math。 |
