求解：若a.b.c为不全等的正数，a*b*c等于1。证明：1/a+1/b+1/c>根号a+根号b+根号c

显示全部楼层 · 2013-6-18 21:55:07

∵abc=1∴1/a+1/b+1/c=abc/a+abc/b+abc/c=bc+ac+ab∵a,b,c>0∴bc+ac≥2√(abc2)=2√c(a=b时取等号） ac+ab≥2√(a2bc)=2√a （b=c时取等号） bc+ab≥2√(ab2c)=2√b（a=c时取等号）因为a.b.c为不全等，上面不等式不能同时取等号相加后为>号∴2(ab+bc+ca)>2(√a+√b+√c)∴ab+bc+ca>√a+√b+√c即1/a+1/b+1/c>根号a+根号b+根号c...

千问 · 2013-6-18 21:55:07

令A=1/sqrt{a},B=1/sqrt{b},C=1/sqrt{c}.则ABC=1. 待证式子变为sum(A^2)>sum(1/A).也就是sum(A^2)>sum(AB).(1)由于sum(A^2)-sum(AB)=1/2*sum(A-B)^2.(2)所以(2)左边大于等于0. 由(2)容易看出等号成...