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求证：sin（1/n）是无理数对任意正整数n恒成立。

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1 | 2012-8-31 10:47:06 | 显示全部楼层 |阅读模式

因为sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-.....所以sin(1/n)=1/n-1/(n^3*3!)+1/(n^5*5!)-....假设其为有理数a/b, (a,b)=1, 且b为正整数，a为整数则有：a/b=1/n-1/(n^3*3!)+1/(n^5*5!)-....假设k为大于等于b的最小奇数，显然有k!整除b两边同时乘以n^k*k!,得：左边=a*n^k*k!/b为整数右边的1/n^k*k!之前的项全化为整数，之后的项为都为小于1的小数，且每项的绝对值逐项减小。这些小数和收敛，其绝对值大于0，小于首项小数的绝对值,即在（0，1）间因此右边为小数。矛盾。因此sin(1/n)不可能为有理数，即为无理...

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