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怎么证明：奇数次代数方程至少有一个实根？谢谢帮我解答系一下下

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1 | 2013-10-11 18:36:52 | 显示全部楼层 |阅读模式

单调性的角度来说，最高次项为奇数的函数，不妨设这个最高次项的系数为正的（如果为负的话，后面的单调性反过来就是了），在自变量取值充分大的时候，肯定会急剧递增；在自变量取值充分小的时候，也会急剧递减。所以，函数在负无穷到正无穷的总体趋势，函数值一定是从负无穷递增到正无穷，因此，必然会存在函数曲线与x轴的交点，所以必然至少有一个实根。复数的角度来说，一个n次代数方程，肯定存在n个复数根（实数视为虚部为0的复数），其中不是实数的虚数根，总是和其共轭复数成对出现。也就是说，如果a+bi是一个代数方程的根，那么a-bi也一定是这个方程的根。所以，只要有虚数根，那就只能有双数个，因此，n个根中至少有一个是实数根。...

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