证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,并求其极限。

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查看11 | 回复1 | 2021-10-15 15:02:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,极限是2。显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增,下面用数学归纳法证明an有上界即an0则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增下面用数学归纳法证明an有上界即an<2当n=1时,a1<2显然成立假设当n=k时,ak<2成立则当n=k+1时,a(k+1)=√2ak<√4=2也成立综上所述,an<2成立根据数列单调递增且有上界,故数列收敛则lim...
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