求三重积分∫∫∫xy dv, 其中Ω是由x^2+y^2=a^2,x^2+z^2=a^2围成的区域

显示全部楼层 · 2013-7-3 12:11:38

直观上想象成这是一块铁，那两个圆柱筒围成的区域中，每一点的密度是xy，接下来就好做了。∫∫∫xy dv=∫∫xy(∫dz) dxdy （此一步，是把这块铁分解成每个（x,y）处立着的铁线）。其中∫dz是z从 -√(a^2-x^2)积到 +√(a^2-x^2)，所以积完变成2√(a^2-x^2)。这样三重积分变成双重积分∫∫xy [2√(a^2-x^2)] dxdy = ∫y{∫x [2√(a^2-x^2)] dx}dy = ∫y{∫[√(a^2-x^2)] dx^2}dy = ∫y{∫[√(a^2-x^2)] d(a^2-x^2)}dy,对于大括号里那个积分，视a^2-x^2为一个整体用换元法，并且知道是从x = -√(a^2-y^2)积到 x =...

千问 · 2013-7-3 12:11:38

这是两个圆柱柱体的交集,它关于XOY面，YOZ面，XOZ面都对称，而三重积分∫∫∫xy dv，被积函数是y的奇函数，积分区域关于XOZ面都对称，所以三重积分∫∫∫xy dv=0。...