一道简单的有理函数积分题，求详细运算过程

显示全部楼层 · 2013-7-7 14:21:15

∵∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx＝∫｛1/［（x＋1/2）^2＋3/4］^2｝dx，∴可令x＋1/2＝（√3/2）t，则：t＝（2x＋1）/√3，dx＝（√3/2）dt，∴∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx＝（√3/2）∫｛1/［（3/4）t^2＋3/4］^2｝dt＝［（√3/2）/（9/16）］∫［1/（t^2＋1）^2］dt＝（8√3/9）∫［1/（t^2＋1）^2］dt。再令t＝tanu，则：u＝arctant，dt＝［1/（cosu）^2］du，∴∫［1/（x^2＋x＋1）^2］dx＝（8√3/9）∫｛1/［（tanu）^2＋1］^2｝［1/（cosu）^2］du＝（8√3/9）∫（cosu）^2du...