求证(a^2+bc)/a(b+c)+(b^2+ac)/b(a+c)+(c^2+ab)/c(a+b)≥3

显示全部楼层 · 2013-7-9 09:13:38

可以分成两个不等式来证:a2/(a(b+c))+b2/(b(c+a))+c2/(c(a+b)) = a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) ≥ 3/2.与bc/(a(b+c))+ca/(b(c+a))+ab/(c(a+b)) = bc/(ca+ab)+ca/(ab+bc)+ab/(bc+ca) ≥ 3/2.注意到第二个不等式若换元x = bc, y = ca, z = ab, 则变为x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y) ≥ 3/2.因此只需证明第一个不等式.a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)= (a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/...

千问 · 2013-7-9 09:13:38

同意newater__的答案。下面从另一个角度给出证明。［证明］不失一般性，设a≧b≧c，则：a＋b≧a＋c≧b＋c，∴1/（b＋c）≧1/（a＋c）≧1/（a＋b）。由排序不等式：同序和≧乱序和，有：a/（b＋c）＋b/（a＋c）＋c/（a＋b）≧b/（b＋c）＋c/（a＋c）＋a/（a＋b）······①a/（b＋c）＋b/（a＋c）...