证明X和SINX大小

显示全部楼层 · 2006-10-25 23:32:05

这个题原先高三模拟考时考过，原题是在[-π/2，π/2]区间内，y=x和y=sin x有几个交点，答案是一个，即x=0时有一个交点。该题翻译过来就是，在[-π/2，π/2]区间内，除了x=0时，sinx=x，sinx和x哪个大，当时很多人做错了，都选3个，老师讲解时，只说靠画图，画准一点解决。。。现在才想明白怎么做了，只有用单位圆解决，先说[0，π/2]区间，[-π/2，0]同理。在单位圆[0，π/2]区间内，sinx值为与x轴垂直的那条竖线，即sin线，这个好理解，那么x呢？在单位圆内对应哪条线？（这个问题很关键，也是考察各位对单位圆及用π表示角度的能否正确理解）。x是表示角度，我们知道360°角在单位圆中用2π表示，为什么用2π？因为我们在半径为1的单位圆中，绕一圈长度就是2π，即x值对应单位圆中一个圆的弧长度！！！那么180°角，在单位圆中，就是半圆弧的长度；90°角，就是1/4段圆弧的长度，这样通过单位圆，我们就把角度和圆完美统一了。。。再回到此题，[0，π/2]区间内，除了x=0这点，只要单位圆中半径线一往90°方向旋转，单位圆的圆弧长度永远大于sin线的直线长度，所以在[0，π/2]区间内，sinx永远小于x，这样可以扩展到x从0到无限大，sinx永远小于x

千问 · 2006-10-25 23:32:05

1、一般情形非常简单，利用函数图像或单位圆就可以知道了。2、在x接近于0时，用单位圆处理三角函数是一种好办法。设A是单位圆与X轴的交点，考察在单位圆的第一象限内，设B点是单位圆上的一点。由正弦定理，三角形OAB面积为(1*1*sinx)/2=sinx/2；扇形OAB的面积是（1*x）/2=x/2（这是是弧度和半径的一半）。显然从面积上考虑有sinx<x。3、如果在上面的图形中从A点作X轴的垂线，与OB相交于C点，则AC=tanx，同样利用面积关系，可以得到不等式sinx<x<tanx4、如果进一步化简，可以得到当x趋向于0时，x和sinx可以看成是相等的。也就是说sinx/x在0的极限是1。5、在高等数学中，根据无穷小两代换原理，x,sinx,tanx是可以相互代替的，可以看成是相等的。（注意条件：趋向0的情况下。）