是否存在等差数列{an}使得1*a1+2*a2+3*a3=...+n*an=n*(n+1)^2对任意n属于N*都成立?并证明

显示全部楼层 · 2012-9-30 14:11:51

这个可以直接求a1,a2,a3,...,ann=1得a1=1*2^2=4n=2a1+2a2=2*3^2=18a2=7n=3a1+2a2+3a3=3*4^2=48a3=10看着像，下证明an=3n+1满足这个表达式显然对于n=1成立假设对于n=k成立则1*a1+2*a2+3*a3+...+k*ak=k*(k+1)^2当n=k+11*a1+2*a2+3*a3+...+k*ak+(k+1)ak+1=k*(k+1)^2+(k+1)(3(k+1)+1)
=...

千问 · 2012-9-30 14:11:51

用（n+1）替换n 再相减得(n+1)a(n+1)=(n+1)((n+2)^2-n(n+1)) 所以an=3n+1...

千问 · 2012-9-30 14:11:51

n*(n+1)^2=3*{(1/6)[n*(n+1)*(2n+1)]}+(1/2)*[n*(n+1)]自然数的平方和为(1/6)[n*(n+1)*(2n+1)]自然数的前n项和为(1/2)*[n*(n+1)]于是n*an=3*n^2+n所以an=3*n+1...