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求所有质数,p q r,使得p的q次方+p的r次方为完全平方数

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查看11 | 回复1 | 2012-10-2 16:48:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
不妨q>=r，则p^q+p^r=(p^(q-r)+1)*p^r若q=r，则括号内为2，则p只能为2，且r得为奇数。故p=2，q=r为任意奇质数为一种解。若q>r，则括号内与括号外互质，则两者均为完全平方数，则r须为偶数，故r=2。设p^(q-r)+1=n^2则p^(q-r)=(n-1)(n+1)，显然p|n-1且p|n+1，显然p|2，而p为素数故p=2. 显然n+1=4且n-1=2，故q-r=3，即q=5.所以所有的解为p=2,q=r为任意的奇质数或p=2,q=5,r=2...
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