如何证明非方阵的矩阵是否可逆

显示全部楼层 · 2012-11-2 12:00:13

如何证明非方阵的矩阵是否可逆?一般都是对方阵定义它的逆矩阵，以及研究方阵是否可逆和逆矩阵的求法；对于非方阵的情况，如：C(m×n)，m≠n，通常定义C与其转置矩阵C'的乘积：T=CC'(m阶方阵) 或 T=C'C(n阶方阵) 的逆矩阵为C矩阵的‘广义逆矩阵’。如(2)定义的广义逆矩阵，当|T|≠0时，总是存在的。证明方法同方阵一样。举例：C = 1，2，3第二行：
3，2，1C的转置C': 1，3第二行：
2，2第三行：
3，1T=CC': 14，10第二行：10，14
可见T的逆矩阵存在，因为：|T|≠0....

千问 · 2012-11-2 12:00:13

非方正的矩阵是不定义它的逆的，我们知道一个矩阵A可逆，假设其逆矩阵为B，那么有AB=BA=E，假设A为n*m矩阵，n≠m，那么A和B能相乘，就一定有B为m*n矩阵而AB=E为n*n矩阵，但BA=E为m*m矩阵，所以AB≠BA,这就出现矛盾了从这里我们就可以知道，非方正不能像方正那样去定义逆矩阵，那当然就谈不上存不存在逆矩阵啦...

千问 · 2012-11-2 12:00:13

利用秩很容易证明非方的矩阵A最多单侧可逆，当且仅当A满秩的时候有单侧逆，但不唯一。至于楼上提到的Moore-Penrose广义逆，当A满秩的时候可以用上述方式定义，并且Moore-Penrose逆也可以作为一个单侧逆。当A不满秩的时候利用奇异值分解仍然可以定义唯一的Moore-Penrose逆。...