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证明行列式公式 |AB|=|A|*|B|

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0 | 2009-9-6 09:19:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩，显然AB也不满秩（r(AB)<=min(r(A),r(B))那么|AB|=|A| |B|=0.2、A、B均满秩A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1（A可以由E经过一系列的行列变换得到）B=g1g2…gs*E*ht…h2h1pi、qi、gi、hi均为初等矩阵，E为单位矩阵|A||B|=|P1P2…Pn*E*qm…q2q1| |g1g2…gs*E*ht…h2h1|
=|P1P2…Pn| |E| |qm…q2q1| |g1g2…gs| |E| |ht…h2h1|
=|A| |E| |E| |B|（反复使用公式①）
=|A| |B|其中只需证明|Ar|=|A| |r|①（或|rA|）其中r为初等矩阵这是显然的，因为初等行列变换不改变矩阵行列式的值。

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