[转载]华德福高中（5）射影几何课堂体验

显示全部楼层 · 2021-1-27 01:38:50

原文地址：华德福高中（5）射影几何课堂体验作者：费思去年《阿凡达》刚出来的时候，大家纷纷到电影院里感受立体电影的震撼效果。为什么戴上所谓3D眼镜，图像就会浮出平面，产生远近不一的立体感觉？一般的解释是这样的：人类之所以能够看到立体的景物，是因为我们的双眼可以各自独立看东西，左右眼的视差产生深度视觉，大脑巧妙地将两眼的图像融合，从而获得有空间感的立体视觉效果。
这个解释固然有生理学基础，却存在一个很大的漏洞。设想一下，如果我们只用一只眼睛看世界，难道房屋、远山和天空看起来都是平的？远近的景物，确实都投射在视网膜的一个面上，但大脑却能够把二维图像的信息，还原成三维的立体空间。在这个过程中，双眼视差固然有用，但更大程度上，大脑是利用了透视的原理。
一般人印象中，似乎只有画家、建筑师或是测绘专业的人，才会专门去学透视。华德福高中数学对透视和射影几何的重视，确实出人意表，同时又显得理所当然。
首先，透视现象在生活中无处不在，我们就是这样去看世界的。小孩子三四岁的时候会问：“为什么近处的物体显得大一些？”

远处景物投射到视网膜上的像，确实比近处景物要小得多（如右图的大小比较），但由于背景中许多平行线（如长廊、墙壁的腰线等）给我们提供了三维空间的参照系，所以左图的两个人，在我们感觉起来是一样大小的。
其次，射影几何学出现的基本动机，就是出于建筑和绘图的需要，如何在平面上表现三维图形的空间关系？

在射影几何中，一组平行线交汇于无穷远点，就像画面上的铁轨。尽管这一排枕木的长短是一样的，换句话说，铁轨之间的距离保持不变，但在我们看来，远处的枕木越来越短，而两条平行铁轨也最终相交在天际处。
华德福高中的课程包括木工家具以及房屋测绘之类的内容，学习透视法绘图，自然是很实用的。这次讲座中途，Garry老师也演示了一部分射影几何的教学内容，主要还是让我们自己拿笔和尺子绘图，去体会透视的原理。
比如先让我们在无穷远直线（Horizon line）上取三个点，绘制三组射线束。从无穷远点发出来的一组射线，在射影几何中，也就意味着是一组平行线。当这些平行光束交汇到一起的时候，你在当中看到什么样的几何图形呢？

不错，你可以从其中找到很多组这样的六边形（Hexagon）！想一想，六边形的三组对边，可不就是由三组平行线构成的吗？同样的方法，我们还可以选取不同数目的无穷远点，作出空间中各种多边形地砖的堆砌图案来。

在第二个例子中，Garry让我们作出一个三角形在给定直线另一侧的“影子”三角形来，使得这两个三角形对应边延长线相交，交点都落在这条直线上（如左图）；构造了这样一对三角形之后，再把对应顶点连线，三条直线将会交于一点（如右图）。

我们通过实际画图验证了这一点，只是对于这两个三角形互为“影子”的关系还是不甚理解，毕竟这不同于一般欧氏几何中的相似或全等关系，在投影后角度或长度并不是保持不变的。Garry并没有对两个三角形关系的性质做明确的阐释，课间的时候，我听到一位朋友把这个问题上升到哲学高度，深有感悟地说：“我发现，一切关系都是投射，把自己投射到对方身上。”这话或许有一定道理，但这样的理解方式也太虚了。
我带着这个疑问回家，向研究几何的小鹅爸爸请教这个“从三点共线推出三线共点”的问题。小鹅爸爸解释说，这是射影几何里的一个基本定理，叫笛沙格同调定理（Desargues' HomologyTheorem），也叫同调三角形定理(Theorem of HomologousTriangles)。要理解其间的几何关系，首先要知道，射影几何中的基本不变量，不是通常的角度或长度，而是交比（cross ratio）等等。这有点太专业了，先按下不表吧。（小鹅爸爸补注：笛沙格定理描述的也无非是“点共线”和“线共点”的关系，其实非常初等，根本用不着什么交比概念。回头我再给你解释一下，你就明白了。）
回到华德福高中课堂的体验上，说实话，我感觉体验的时间还是太短了一些。如果能够缩短一些讲座时间，让大家完整地感受一堂课，应该会有很直观的冲击力！哪怕只是一个小时的完整教学，我们能够对一个主题教学有深入的讨论，从中体会到华德福老师的引导方式。
Garry老师举了两个射影几何课的例子，在预先的准备里，甚至可能引入更多例子（每个人有6张白纸）。或许是时间关系，也或许是考虑到听众的背景差异大，无法对这些内容做深入的讨论。但科学课毕竟不同于艺术课，后者尊重每个人不同的领悟方式，而科学是建立在严谨的思想方法的基础上的，科学课的重要目标，不单是具体知识的传授，而是培养理性客观的思考方式。(小鹅爸爸补注：更重要而核心的事情是追求“理解”，特别是用基本的思想观念和推导/计算，解释我们的经验和各种数学事实。强调客观性似乎不到点子上。)
尽管经验十分有限，但我还是能够体会到华德福老师引入一个新内容的独特方式，不对概念和背景做过多的解释，而是让大家先自己动手去做，去观察和体会。尤其是课程设计注重实践、不同学科间贯穿着有机联系时（比如地理测绘课与射影几何的内在联系），能够引导学生把课程内容运用到实践中去。
黄晓星老师邀请大家一起来重上一次华德福高中，体验真正的学习，而不是应付考试的知识灌输。这样的邀请很诱人，不过我们也谈到，要想做一个合格的华德福高中老师，对专业素养的要求是很高的。如果没有经过专业的训练，对课程内容没有透彻的理解，仅仅靠短期的师资培训和对人智学的理解，再好的教育思想，也很难落实到实践中去。
教育是一项激动人心的事业，同时又永远面临着挑战和不确定性。不知道投身华德福的前辈们，会不会像我这样战战兢兢、如履薄冰？:P