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华德福高中(5)射影几何课堂体验
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华德福高中(5)射影几何课堂体验
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2021-1-27 01:38:50
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去年《阿凡达》刚出来的时候,大家纷纷到电影院里感受立体电影的震撼效果。为什么戴上所谓3D眼镜,图像就会浮出平面,产生远近不一的立体感觉?一般的解释是这样的:人类之所以能够看到立体的景物,是因为我们的双眼可以各自独立看东西,左右眼的视差产生深度视觉,大脑巧妙地将两眼的图像融合,从而获得有空间感的立体视觉效果。
这个解释固然有生理学基础,却存在一个很大的漏洞。设想一下,如果我们只用一只眼睛看世界,难道房屋、远山和天空看起来都是平的?远近的景物,确实都投射在视网膜的一个面上,但大脑却能够把二维图像的信息,还原成三维的立体空间。在这个过程中,双眼视差固然有用,但更大程度上,大脑是利用了透视的原理。
一般人印象中,似乎只有画家、建筑师或是测绘专业的人,才会专门去学透视。华德福高中数学对透视和射影几何的重视,确实出人意表,同时又显得理所当然。
首先,透视现象在生活中无处不在,我们就是这样去看世界的。小孩子三四岁的时候会问:“为什么近处的物体显得大一些?”
远处景物投射到视网膜上的像,确实比近处景物要小得多(如右图的大小比较),但由于背景中许多平行线(如长廊、墙壁的腰线等)给我们提供了三维空间的参照系,所以左图的两个人,在我们感觉起来是一样大小的。
其次,射影几何学出现的基本动机,就是出于建筑和绘图的需要,如何在平面上表现三维图形的空间关系?
在射影几何中,一组平行线交汇于无穷远点,就像画面上的铁轨。尽管这一排枕木的长短是一样的,换句话说,铁轨之间的距离保持不变,但在我们看来,远处的枕木越来越短,而两条平行铁轨也最终相交在天际处。
华德福高中的课程包括木工家具以及房屋测绘之类的内容,学习透视法绘图,自然是很实用的。这次讲座中途,Garry老师也演示了一部分射影几何的教学内容,主要还是让我们自己拿笔和尺子绘图,去体会透视的原理。
比如先让我们在无穷远直线(Horizon line)上取三个点,绘制三组射线束。从无穷远点发出来的一组射线,在射影几何中,也就意味着是一组平行线。当这些平行光束交汇到一起的时候,你在当中看到什么样的几何图形呢?
不错,你可以从其中找到很多组这样的六边形(Hexagon)!想一想,六边形的三组对边,可不就是由三组平行线构成的吗?同样的方法,我们还可以选取不同数目的无穷远点,作出空间中各种多边形地砖的堆砌图案来。
在第二个例子中,Garry让我们作出一个三角形在给定直线另一侧的“影子”三角形来,使得这两个三角形对应边延长线相交,交点都落在这条直线上(如左图);构造了这样一对三角形之后,再把对应顶点连线,三条直线将会交于一点(如右图)。
我们通过实际画图验证了这一点,只是对于这两个三角形互为“影子”的关系还是不甚理解,毕竟这不同于一般欧氏几何中的相似或全等关系,在投影后角度或长度并不是保持不变的。Garry并没有对两个三角形关系的性质做明确的阐释,课间的时候,我听到一位朋友把这个问题上升到哲学高度,深有感悟地说:“我发现,一切关系都是投射,把自己投射到对方身上。”这话或许有一定道理,但这样的理解方式也太虚了。
我带着这个疑问回家,向研究几何的小鹅爸爸请教这个“从三点共线推出三线共点”的问题。小鹅爸爸解释说,这是射影几何里的一个基本定理,叫笛沙格同调定理(Desargues' HomologyTheorem),也叫同调三角形定理(Theorem of HomologousTriangles)。要理解其间的几何关系,首先要知道,射影几何中的基本不变量,不是通常的角度或长度,而是交比(cross ratio)等等。这有点太专业了,先按下不表吧。(小鹅爸爸补注:笛沙格定理描述的也无非是“点共线”和“线共点”的关系,其实非常初等,根本用不着什么交比概念。回头我再给你解释一下,你就明白了。)
回到华德福高中课堂的体验上,说实话,我感觉体验的时间还是太短了一些。如果能够缩短一些讲座时间,让大家完整地感受一堂课,应该会有很直观的冲击力!哪怕只是一个小时的完整教学,我们能够对一个主题教学有深入的讨论,从中体会到华德福老师的引导方式。
Garry老师举了两个射影几何课的例子,在预先的准备里,甚至可能引入更多例子(每个人有6张白纸)。或许是时间关系,也或许是考虑到听众的背景差异大,无法对这些内容做深入的讨论。但科学课毕竟不同于艺术课,后者尊重每个人不同的领悟方式,而科学是建立在严谨的思想方法的基础上的,科学课的重要目标,不单是具体知识的传授,而是培养理性客观的思考方式。(小鹅爸爸补注:更重要而核心的事情是追求“理解”,特别是用基本的思想观念和推导/计算,解释我们的经验和各种数学事实。强调客观性似乎不到点子上。)
尽管经验十分有限,但我还是能够体会到华德福老师引入一个新内容的独特方式,不对概念和背景做过多的解释,而是让大家先自己动手去做,去观察和体会。尤其是课程设计注重实践、不同学科间贯穿着有机联系时(比如地理测绘课与射影几何的内在联系),能够引导学生把课程内容运用到实践中去。
黄晓星老师邀请大家一起来重上一次华德福高中,体验真正的学习,而不是应付考试的知识灌输。这样的邀请很诱人,不过我们也谈到,要想做一个合格的华德福高中老师,对专业素养的要求是很高的。如果没有经过专业的训练,对课程内容没有透彻的理解,仅仅靠短期的师资培训和对人智学的理解,再好的教育思想,也很难落实到实践中去。
教育是一项激动人心的事业,同时又永远面临着挑战和不确定性。不知道投身华德福的前辈们,会不会像我这样战战兢兢、如履薄冰?:P
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