谁能告诉我关于韦达定理的知识？

显示全部楼层 · 2009-9-15 22:42:28

韦达定理(Vieta's Theorem）的内容一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/aX1*X2=c/a不能用于线段用韦达定理判断方程的根若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac0 则方程有两个不相等的实数根若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根若b^2-4ac<0 则方程没有实数解[编辑本段]韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0它的根记作X1,X2…,Xn我们有∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。如果一元二次方程在复数集中的根是，那么法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。[编辑本段]韦达定理的证明一元二次方程求根公式为：x=(-b±√b^2-4ac)/2a则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2ax1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）x1+x2=-b/ax1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）x1*x2=c/a韦达定理判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理。〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况；对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围。 2.掌握韦达定理及其简单的应用。【考3.】会在实数范围内把二次三项式分解因式。4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。内容分析。1.一元二次方程的根的判别式。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b^2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系。(1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么， (2)如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P， x1x2=q (3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．另外这与射影定理是初中必须掌握的.[编辑本段]韦达定理推广的证明设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）通过系数对比可得：A（n-1）=-An(∑xi)A（n-2）=An(∑xixj)…A0==(-1)^n*An*∏Xi所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)…∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)其中∑是求和，∏是求积。
如果一元n次方程，anxn+an-1xn-1+…a1x+a0=0在复数集中的根是x1,x2…，xn，那么?x1+x2+…+xn= -an-1/an ;?x1x2+x2x3+…+xn-1xn= an-2/an ;?x1x2x3+x1x2x4+…+xn-2xn-1xn= -an-3/an ;?…………………?x1x2…xn=(-1)n·a0/an