数学题；圆周上的三点，问是锐角三角形的概率是多少？

显示全部楼层 · 2009-9-27 01:10:25

对于这三个点，容易知道，当A、B、C三点都在同一个半圆内时，三角形ABC必然是直角或钝角三角形，只有当三点不在同一个半圆内，才可以组成锐角三角形则题目转化为“在圆周上任取三个不同的点，求它们不处在同一半圆内的概率”∴其概率值为=（1/2）*（1/2）=1/4

千问 · 2009-9-27 01:10:25

等于是“任何两个点不超过180度的三个点的集合”，对吗？第一点任意。第二点跟第一点间的夹角，决定第三点的范围。夹角越大，第三点的范围也越大。前两点见的夹角为0度，第三点不存在。前两点夹角从0到180度变化，第三点的范围从0到π（圆周是2π），平均值应该是0.5π吧？所以概率应该是 25%

千问 · 2009-9-27 01:10:25

就是说两个点在圆的一半另一个点在圆的另一半。而不是三个点在同一个半圆内、因此p=1-1*0.5*0.5=0.75而0.75是没有排除直角三角形的因此无限趋近于0.75.

千问 · 2009-9-27 01:10:25

π/4以第一点为原点，则第二点x在[0,π]间均匀分布（始终用小弧）。第三点在[0,2π)间均匀分布，与第一、二点构成锐角三角形的圆周区间长度为x，故条件概率P（构成锐角三角形/第二点为x）=x/(2π)构成锐角三角形的全概率P=积分{0-->π}x/(2π)dx=π/4