求证：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0

显示全部楼层 · 2009-10-5 19:47:59

若是偶函数则f(x)-f(-x)=0所以(ax^2+bx+c)-[a(-x)^2+b(-x)+c]=0ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=02bx=0所以b=0若b=0则f(x)=ax^2+c定义域R关于原点对称f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c=f(x)所以f(x)是偶函数所以充要条件是b=0

千问 · 2009-10-5 19:47:59

(1)先证明其充分性：由f(-x）=f(x)得： ax^2-bx+c=ax^2+bx+c∴2bx=0 由于是对于任意x都有f(-x)=f(x), 所以b=0.(2)证明其必要性：将b=0带入f(x)得：f(x)=ax^2+c又∵f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c∴f(-x)=f(x)综上：函数f（x)=ax^2+bx+c满足f（-x）=f（x）的充要条件是b=0

千问 · 2009-10-5 19:47:59

若是偶函数则f(x)-f(-x)=0所以(ax^2+bx+c)-[a(-x)^2+b(-x)+c]=0ax^2+bx+c-ax^2+bx-c=02bx=0所以b=0若b=0则f(x)=ax^2+c定义域R关于原点对称f(-x)=a(-x)^2+c=ax^2+c=f(x)
所以是所以充要条件是b=0 知道了米