广义函数与普通函数的本质区别？

显示全部楼层 · 2019-10-10 08:42:14

普通函数,(如y=f(x))是将一维实数空间的数x经过所规定的运算映射为一维实数空间的数y。普通函数的概念可以推广。若将某类函数集（如连续函数集，可微函数集等）中的每个函数看作空间的一个点，这类函数的全体就构成某一函数空间（如连续函数空间，可微函数空间等）。
简单的说，广义函数就是这样定义的:选择一类性能良好的函数，称为检验函数（它相当于定义域）。一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数赋予一个数值N的映射，该函数与和检验函数有关，记作Ng[ ]。广义函数可写为 (1.3-8)
式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且及其各阶导数在无限远处急速下降（即时比下降更快）的普通函数（例如等）。这类函数的整体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用Φ表示。在Φ上定义的广义函数称为缓增广义函数（在某种意义上，当时，它即使增长也不比多项式快），它的全体构成缓增广义函数空间，用Φ’表示。这类广义函数之所以受到重视，是因为它有良好的性质，如缓增广义函数的极限，各阶导数傅立叶变换等都存在并仍属于Φ’等等。需要注意，式(1.3-8)中的g(t)如果是普通函数的可积函数，它可看作是积分运算，如果不是普通函数的可积函数，式(1.3-8)只是一种表示形式。

千问 · 2019-10-10 08:42:14

普通函数,(如y=f(x))是将一维实数空间的数x经过所规定的运算映射为一维实数空间的数y。普通函数的概念可以推广。若将某类函数集（如连续函数集，可微函数集等）中的每个函数看作空间的一个点，这类函数的全体就构成某一函数空间（如连续函数空间，可微函数空间等）。简单的说，广义函数就是这样定义的:选择一类性能良好的函数，称为检验函数（它相当于定义域）。一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数赋予一个数值N的映射，该函数与和检验函数有关，记作Ng[ ]。广义函数可写为
(1.3-8)
式中检验函数是连续的，具有任意阶导数，且及其各阶导数在无限远处急速下降（即时比下降更快）的普通函数（例如等）。这类函数的整体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用Φ表示。在Φ上定义的广义函数称为缓增广义函数（在某种意义上，当时，它即使增长也不比多项式快），它的全体构成缓增广义函数空间，用Φ’表示。这类广义函数之所以受到重视，是因为它有良好的性质，如缓增广义函数的极限，各阶导数傅立叶变换等都存在并仍属于Φ’等等。需要注意，式(1.3-8)中的g(t)如果是普通函数的可积函数，它可看作是积分运算，如果不是普通函数的可积函数，式(1.3-8)只是一种表示形式。参考资料：http://jyk.xidian.edu.cn/jpkc/html/ziliao/xhyxt/xuexi/chart1/c_1_4_3_1.htm

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